1、托勒密定理的两种证法

定理：圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。

已知：如图，凸四边形ABCD是圆O的内接四边形，连接对角线AC、BD。求证：AB.CD+BC.AD=AC.BD

分析：由结论的形式我们可以联想到构造三角形相似，从而得到对应变成比例，并把它转化为乘积形式，从而得证！

证法一：如图，在BD上找一点E，使∠1=∠2。

在△ABE和△ACD中，

∵∠1=∠2，∠3=∠4

∴△ABE∽△ACD

∴AB/AC=BE/CD

∴AB•CD=AD•BE（1）

同理可证△ACE∽△ADB，AC•BD=AD•EC（2）

由（2）-（1）得：

AC•BD-AB•CD=AD•EC-AD•BE

=AD•（EC-BE）=AD•BC

即AB•CD+AD•BC=AC•BD

2、托勒密定理的应用

例1：如图,在O的内接四边形ABCD中,AB=3,AD=5,∠BAD=60∘，点C为弧BD的中点，则AC的长是     。

解析：连接BD，因为∠BAD=60，CB=CD,

易知∠BCD=120，BD=√3BC

由托勒密定理知：

AC.BD=AB.CD+AD.BC

即AC.√3BC=3BC+5BC

故√3AC=8，AC=8√3/3

例2：如图，点P是等边△ABC外接圆劣弧BC上一点，连接PA、PB、PC。求证：PA=PB+PC

例3：（利用托勒密定理证明勾股定理）已知Rt△ABC,设直角边AB=a,BC=b,斜边AC=c。求证：a²+b²=c²

解析：如图，构造矩形ABCD和外接圆O，

由托勒密定理得：

AC.BD=AB.CD+BC.AD

即AC.AC=AB.AB+BC.BC

即a²+b²=c²

3、托勒密定理的推论及证明

托勒密定理推论：任意凸四边形ABCD，必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC，而且当ABCD四点共圆时取等号。

证明：如图，在四边形ABCD中,连接AC、BD,

作∠ABE=∠ACD,∠BAE=∠CAD 则△ABE∽△ACD

∴ BE/CD=AB/AC,AB/AC=AE/AD

∴BE.AC=AB.CD(1),

AB/AE=AC/AD

∵∠BAE=∠CAD

∴∠BAE+∠EAC=∠CAD+∠EAC

即∠BAC=∠DAE

又∵AB/AE=AC/AD,

∴△ABC∽△AED

∴BC/ED=AC/AD

∴ED.AC=AD.BC(2)

由（1）+（2）得：

AC.(BE+ED)=AB.CD+AD.BC

又∵BE+ED≥BD

∴AC.BD≤AB.CD+AD.BC

当且仅当点E落在线段BD上时，等号成立。

4、托勒密定理的推论及证明

如图，在四边形中BC=CD，∠BCD=90。若AB=4cm，AD=3cm，则对角线AC的最大值为      cm.

解析：本题历年初二期末数学统考题，我们通常采用旋转的方法求AC的最大值。当知道托勒密定理的推论时，这个问题变得非常简单。

由托勒密定理得：

AC.BD≤AB.CD+AD.BC

即AC.√2BC≤AB.BC+AD.BC

即√2AC≤7，即AC≤7√2/2