高中数学数形结合思想必考题型全梳理(附例题)

数形结合的三个原则

等价性原则

在数形结合时,代数性质和几何性质的转换必须是等价的,否则解题将会出现漏洞.首先,由代数式、方程、不等式构造函数时一要注意变量(包括自变量和因变量)的取值范围。

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双向性原则

既要进行几何直观分析,又要进行相应的代数抽象探求,直观的几何说明不能代替严谨的代数推理.另一方面,仅用直观分析,有时反倒使问题变得复杂,比如在二次曲线中的最值问题,有时使用三角换元,反倒简单轻松.

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简单性原则

不要为了“数形结合”而数形结合.具体运用时,一要考虑是否可行和是否有利;二要选择好突破口,确定好主元;三要挖掘隐含条件,准确界定参变量的取值范围,特别是运用函数图象时应设法选择动直线(直线中含有参数)与定二次曲线.

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数形结合的应用

利用数轴、韦恩图求集合

利用数形结合的思想解决集合问题,常用的方法有数轴法、韦恩图法等。当所给问题的数量关系比较复杂,不好找线索时,用韦恩图法能达到事半功倍的效果。

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数形结合在解析几何中的应用

解析几何问题往往综合许多知识点,在知识网络的交汇处命题,备受出题者的青睐,求解中常常通过数形结合的思想从动态的角度把抽象的数学语言与直观的几何图形结合起来,达到研究、解决问题的目的.

构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题;

如果等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征,就要考虑用数形结合的方法来解题,即所谓的几何法求解,比较常见的对应有:

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(一)   与斜率有关的问题

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 (二)  与距离有关的问题

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数形结合在函数中的应用

 (一)  利用数形结合解决与方程的根有关的问题

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【点拨】数形结合可用于解决方程的根的问题,准确合理地作出满足题意的图象是解决这类问题的前提.

 (二)   利用数形结合解决函数的单调性问题

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 (三)   利用数形结合解决比较数值大小的问题

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 (四)   函数的最值问题

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 (五)   利用数形结合解决抽象函数问题

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运用数形结合思想解不等式

 (一)   解不等式

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 (二)   求参数的取值范围

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运用数形结合思想解决三角函数问题

纵观近三年的高考试题,巧妙地运用数形结合的思想方法来解决一些问题,可以简化计算,节省时间,提高考试效率,起到事半功倍的效果.

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借助向量的图象解决几何问题

利用向量可以解决线段相等,直线垂直,立体几何中空间角(异面直线的角、线面角、二面角)和空间距离(点线距、线线距、线面距、面面距),利用空间向量解决立体几何问题,将抽象的逻辑论证转化为代数计算,以数助形,大大降低了空间想象能力,是数形结合的深化。

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构造几何图形解决代数问题

构造几何图形解决代数与三角形问题,并利用图形特征、规律来解决问题,可以化抽象为直观,使题目露出问题的内在联系,借助几何的直观性,还可以避免复杂的计算和字母讨论。

坐标法解几何题的基本思路是,首先根据几何题的特点建立适当的坐标系,然后将几何问题转化为代数问题,经过计算和推理,获得有关的代数结论,然后再通过坐标系将代数结论转化为几何结论,从而解决问题。

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