初三上册 圆的重要知识点+常考公式

一:圆的相关概念
圆的定义
在一个个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做,固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径
直线圆的与置位关系
1.线直与圆有唯公一共时,点做直叫与圆线切
2.三角的外形圆接的圆叫做三心形角外心
3.弦切角于所等夹弧所对的圆心角
4.三角的内形圆切的圆叫做三心形角内心
5.垂于直径半直线必为圆的的切线
6.过径半外的点并且垂直端于半的径直线是圆切线
7.垂于直径半直线是圆的的切线
8.圆切线垂的直过切于点半径
圆的几何表示
以点O为圆心的圆记作“⊙O”,读作“圆O
垂径定理及其推论
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧
推论1
(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于,并且平分弦所对的两条弧
(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧
(3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧
推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等。垂径定理及其推论可概括为:过圆心垂直于弦直径平分弦知二推三平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧
三:弦、弧等与圆有关的定义
1、连接圆上任意两点的线段叫做
2、经过圆心的弦叫做直径
3、圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫做半圆
4、圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称。弧用符号“”表示。大于半圆的弧叫做优弧(多用三个字母表示);小于半圆的弧叫做劣弧(多用两个字母表示。
四:圆的对称性
1、圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴
2、圆是以圆心为对称中心的中心对称图形
五:弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理
1、顶点在圆心的角叫做圆心角
2、从圆心到弦的距离叫做弦心距
3、在同圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦想等,所对的弦的弦心距相等
圆周角定理及其推论
1、顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫做圆周角
2、一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等
推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径
推论3:如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形
点和圆的位置关系
设⊙O的半径是r,点P到圆心O的距离为d,则有:
位置关系
数量关系
点在圆外
d>r
点在圆上
d=r
点在圆内
d<r
过三点的圆
1、过三点的圆
不在同一直线上的三个确定一个
2、三角形的外接圆
经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆
3、三角形的外心
三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点,它叫做这个三角形的外心
4、圆内接四边形性质(四点共圆的判定条件)圆内接四边形对角互补
反证法
先假设命题中的结论不成立,然后由此经过推理,引出矛盾,判定所做的假设不正确,从而得到原命题成立,这种证明方法叫做反证法
十:直线与圆的位置关系
直线和圆有三种位置关系
具体如下:
(1)相交:直线和圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线,公共点叫做交点;
(2)相切:直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线
(3)相离:直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离
如果⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,那么:
位置关系
数量关系
相离
d>r
相切
d=r
相交
d<r
十一切线的判定和性质
1、切线的判定定理
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
2、切线的性质定理
圆的切线垂直于经过切点的半径
十二切线长定理
1、切线长
在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长
2、切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
三:圆和圆的位置关系
1、圆和圆的位置关系
如果两个圆没有公共点,那么就说这两个圆相离,相离分为外离内含两种。如果两个圆只有一个公共点,那么就说这两个圆相切,相切分为外切内切两种。如果两个圆有两个公共点,那么就说这两个圆相交
2、圆心距
两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距
3、圆和圆位置关系的性质与判定
设两圆的半径分别为R和r,圆心距为d,那
位置关系
数量关系
外离
d>R+r
外切
d=R+r
相交
R-r<d<R+r
内切
d=R-r
内含
d<R-r
4、两圆相切、相交的重要性质
如果两圆相切,那么切点一定在连心线上,它们是轴对称图形,对称轴是两圆的连心线;相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦

1.圆的周长C=2πr=πd
2.圆的面积S=πr²
3.扇形弧长l=nπr/180
4.扇形面积S=nπr²/360=rl/2
5.圆锥侧面积S=πrl

〖圆的定义〗
几何说:平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心,定长称为半径。
轨迹说:平面上一动点以一定点为中心,一定长为距离运动一周的轨迹称为圆周,简称圆。
集合说:到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。

〖圆的相关量〗

圆周率:圆周长度与圆的直径长度的比叫做圆周率,
值是3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679…,
通常用π表示,计算中常取3.14为它的近似值(但奥数常取3或3.1416)。

圆弧和弦:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。大于半圆的弧称为优弧,小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。

圆心角和圆周角:顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上,且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。

内心和外心:过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆,其圆心叫做三角形的外心。和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆,其圆心称为内心。

扇形:在圆上,由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。圆锥侧面展开图是一个扇形。这个扇形的半径成为圆锥的母线。

〖圆和圆的相关量字母表示方法〗

圆—⊙ 半径—r 弧—⌒ 直径—d 扇形弧长/圆锥母线—l 周长—C 面积—S

〖圆和其他图形的位置关系〗

圆和点的位置关系:以点P与圆O的为例(设P是一点,则PO是点到圆心的距离),P在⊙O外,PO>r;P在⊙O上,PO=r;P在⊙O内,PO<r。
直线与圆有3种位置关系:
无公共点为相离;
有两个公共点为相交;
圆与直线有唯一公共点为相切,这条直线叫做圆的切线,这个唯一的公共点叫做切点。
以直线AB与圆O为例(设OP⊥AB于P,则PO是AB到圆心的距离):
AB与⊙O相离,PO>r;AB与⊙O相切,PO=r;AB与⊙O相交,PO<r。

两圆之间有5种位置关系:无公共点的,一圆在另一圆之外叫外离,在之内叫内含;有唯一公共点的,一圆在另一圆之外叫外切,在之内叫内切;有两个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。

两圆的半径分别为R和r,且R≥r,圆心距为P:外离P>R+r;外切P=R+r;相交R-r<P<R+r;内切P=R-r;内含P<R-r。

【圆的平面几何性质和定理】

⑴圆的确定:不在同一直线上的三个点确定一个圆。圆的对称性质:圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线。圆也是中心对称图形,其对称中心是圆心。
垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的2条弧。
逆定理:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的2条弧。

⑵有关圆周角和圆心角的性质和定理 在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两个圆周角,两组弧,两条弦,两条弦心距中有一组量相等,那么他们所对应的其余各组量都分别相等。一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。

⑶有关外接圆和内切圆的性质和定理

①一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点,到三角形三个顶点距离相等;
②内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点,到三角形三边距离相等。
③S三角=1/2*△三角形周长*内切圆半径
④两相切圆的连心线过切点(连心线:两个圆心相连的线段)

〖有关切线的性质和定理〗

圆的切线垂直于过切点的半径;经过半径的一端,并且垂直于这条半径的直线,是这个圆的切线。
切线判定定理:经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线的性质:
(1)经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。
(2)经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。
(3)圆的切线垂直于经过切点的半径。

切线长定理:从圆外一点到圆的两条切线的长相等,那点与圆心的连线平分切线的夹角。

【圆的解析几何性质和定理】

圆的标准方程:在平面直角坐标系中,以点O(a,b)为圆心,以r为半径的圆的标准方程是(x-a)^2+(y-b)^2=r^2。

圆的一般方程:把圆的标准方程展开,移项,合并同类项后,可得圆的一般方程是x^2+y^2+Dx+Ey+F=0。和标准方程对比,其实D=-2a,E=-2b,F=a^2+b^2。

圆的离心率e=0,在圆上任意一点的曲率半径都是r。

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THE END
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